科目：数学
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一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出题目要求的一项。
1. （1） 在复平面内, 复数 $z = 1 + 2\mathrm{i}^{3}$ 对应的点位于
2. （2） 已知集合 $A = \{x \mid -2 < x \leqslant 1\}$ , $B = \{x \mid x \leqslant -2\}$ , 则 $\complement_{\mathbb{R}} (A \cup B$
3. （3） 已知函数 $f(x) = \frac{2^x}{4^x + a}$ 是偶函数, 则实数 $a =$
4. （4） 已知实数 $a, b, c, d$ 满足: $a > b > c > d$ , 则下列不等式恒成立的是
5. （5） 设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则 $\alpha // \beta$ 的充要条件是
6. （6） 已知函数 $f(x) = \begin{cases} -x^3, & x < 0, \\ e^x, & x \geqslant 0. \end{cases}$ , $g(x) = f(x) - x - a$ . 若 $g(x)$ 存在 2 个零点；则 $a$ 的取值范围是
7. （7） 人们通常以分贝（符号是 dB）为单位来表示声音强度的等级。一般地，如果强度为 I 的声音对应的等级为 L dB，则有 $L = 10 \lg \frac{I}{10^{-12}}$ 。已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为 52 dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为 (参考数据： $\lg2\approx0.301$ )
8. （8） 若 $C_{n}^{1} + 3C_{n}^{2} + 3^{2}C_{n}^{3} + \cdots + 3^{n-2}C_{n}^{n-1} + 3^{n-1} \neq 85$ ，则 n 的值为 (26) 在 $\triangle ABC$ 中, $\angle BAC = \frac{\pi}{3}, BC = 4, D$ 为 $BC$ 边上的中点, $AD = 3$ , 则 $\triangle ABC$ 的面积为 (A) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (B) $\frac{5\sqrt{3}}{4}$ (C) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (D). $\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (10) 在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中, $E$ 是棱 $C_{1}D_{1}$ 的中点, $S$ 是正方形 $ABCD$ 及其内部的点构成的集合. 设集合 $T=\{P \in S \mid PA_{1}=\sqrt{2}PE\}$ , 则 $T$ 表示的轨迹是 (A) 线段 (B) 圆的一部分 (C) 椭圆的一部分 (D) 抛物线的一部分
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
9. （11） 函数 $f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{2-x}$ 的定义域是 .
10. （12） 设向量 $a$ 与 $b$ 不共线, 向量 $\lambda a + b (\lambda \in \mathbb{R})$ 与 $a + 2b$ 共线, 则 $\lambda =$ .
11. （13） 设双曲线 $C: x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ , 若直线 $y = 2x$ 与双曲线 $C$ 无公共点, 则 $b$ 的一个取值为 .
12. （14） 等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} + a_{3} = 10, a_{2} + a_{4} = 5$ , 则 $a_{n} =$ ; $a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}$ 的最大值为 .
13. （15） 已知 $\alpha, \beta \in (0, \pi)$ , 且 $\cos \alpha \cos \gamma = \cos \alpha - \cos \beta$ . 给出下列四个结论:
① $\cos\alpha+\cos\beta$ 有最小值；
② $\cos\alpha + \cos\beta$ 无最大值；
③ $\cos\alpha\cos\beta$ 有最小值;
④ $\cos\alpha\cos\beta$ 无最大值.
其中所有正确结论的序号是。
① $\cos\alpha+\cos\beta$ 有最小值；
② $\cos\alpha + \cos\beta$ 无最大值；
③ $\cos\alpha\cos\beta$ 有最小值;
④ $\cos\alpha\cos\beta$ 无最大值.
其中所有正确结论的序号是。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明性。
14. （16） (本小题 13 分)
已知函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin \frac{\omega x}{2}\cos \frac{\omega x}{2} +\cos^2{\frac{\omega x}{2}} -\frac{1}{2} (\omega >0).$ 从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在.
（I）求 $f(\frac{\pi}{3})$ 的值；
(II) 求 $f(x)$ 在区间 $[- \frac{\pi}{2}, 0]$ 上的最大值和最小值.
条件①: 函数 $f(x)$ 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ;
条件 ②: $f\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}$ ;
条件③: 函数 $f(x)$ 在区间 $[- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}]$ 上具有单调性, 且 $f'(-\frac{\pi}{3}) f(\frac{\pi}{6}) = -1$ .
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答, 按第一个解答计分.
已知函数 $f(x) = \sqrt{3}\sin \frac{\omega x}{2}\cos \frac{\omega x}{2} +\cos^2{\frac{\omega x}{2}} -\frac{1}{2} (\omega >0).$ 从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数 $f(x)$ 存在.
（I）求 $f(\frac{\pi}{3})$ 的值；
(II) 求 $f(x)$ 在区间 $[- \frac{\pi}{2}, 0]$ 上的最大值和最小值.
条件①: 函数 $f(x)$ 的图象的相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{\pi}{2}$ ;
条件 ②: $f\left( \frac{\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}$ ;
条件③: 函数 $f(x)$ 在区间 $[- \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}]$ 上具有单调性, 且 $f'(-\frac{\pi}{3}) f(\frac{\pi}{6}) = -1$ .
注:如果选择的条件不符合要求,得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答, 按第一个解答计分.
如图,在正三棱柱 $\overset{.}{A}\overset{.}{B}\overset{.}{C}-\overset{.}{A}_{1}\overset{.}{B}_{1}\overset{.}{C}_{1}$ 中, $\overset{.}{B}\overset{.}{B}_{1}=\sqrt{6}\overset{.}{A}\overset{.}{B}$ ; $M,N$ 分别是 $\overset{.}{A}\overset{.}{A}_{1};\overset{.}{B}_{1}\overset{.}{C}_{1}$ 的中点.
(I) 求证: $MN \parallel$ 平面 $ABC_{1}$ ;
(II) 求二面角 $A - B{C}_{1} - {B}_{1}$ 的余弦值:
(Ⅲ) 设平面 $\overset{\circ}{A}B\overset{\circ}{C}_{1}$ 与平面 $A_{1}\overset{\circ}{B}_{1}C_{1}$ 的交线为 l，求直线 l 与直线 MN 所成的角：
16. （18） (本小题 13 分)
2026年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章打卡活动。游客可以收集“龙马献瑞”，“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延年”，“马行无疆”6个蕴含马年吉祥寓意的专属印章。为了解不同年龄段游客的打卡习惯，从参与活动的人群中随机抽取100名游客，统计他们集章情况如下表（同一题材重复集章只计1个）：
每个游客的打卡行为相互独立.
（Ⅰ）从上表的青年组中随机抽取1名游客，求该游客集章个数不少于4的概率；
(Ⅱ)从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取2人,用上表统计的频率估计概率,试估计这4人中“恰有2人集章4个、2人集章5个”的概率;
(III) 将青年、中年、老年组的组别分别编码为 -1,0,1，用上表统计的频率估计概率，从集章个数为 $k(k=1,2,3,4,5,6)$ 的游客中随机抽取 1 人，记该游客的组别编码为 $X_{k}$ ，写出满足 $EX_{k} \geqslant 0$ 的 $k$ 值的个数。（结论不要求证明）
2026年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章打卡活动。游客可以收集“龙马献瑞”，“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延年”，“马行无疆”6个蕴含马年吉祥寓意的专属印章。为了解不同年龄段游客的打卡习惯，从参与活动的人群中随机抽取100名游客，统计他们集章情况如下表（同一题材重复集章只计1个）：
| 组别 | 集章1个 | 集章2个 | 集章3个 | 集章4 | 集章5个 | 集章6个 | 各组总人数 |
| 青年 | 1人 | 1人 | 2人 | 12人 | 12_ | 2人 | 30人 |
| 中年 | 3人 | 2人 | 8人 | 30人 | 15人 | 2人 | 60人 |
| 老年 | 1人 | 2人 | 1人 | 3人 | 2大 | 1人 | 10人 |
（Ⅰ）从上表的青年组中随机抽取1名游客，求该游客集章个数不少于4的概率；
(Ⅱ)从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取2人,用上表统计的频率估计概率,试估计这4人中“恰有2人集章4个、2人集章5个”的概率;
(III) 将青年、中年、老年组的组别分别编码为 -1,0,1，用上表统计的频率估计概率，从集章个数为 $k(k=1,2,3,4,5,6)$ 的游客中随机抽取 1 人，记该游客的组别编码为 $X_{k}$ ，写出满足 $EX_{k} \geqslant 0$ 的 $k$ 值的个数。（结论不要求证明）
17. （19） (本小题 15 分)
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{2}$ , 其左顶点为 $A$ 上顶点为 $\ddot{B}$ , $|AB| = \sqrt{5}$ , 直线 $l$ 平行于 $AB$ 且与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ .
(I) 求椭圆 $C$ 的方程;
(II) 是否存在直线 l 使得 A, B, N; M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时：的方 程；若不存在，请说明理由.
已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{5}{2}$ , 其左顶点为 $A$ 上顶点为 $\ddot{B}$ , $|AB| = \sqrt{5}$ , 直线 $l$ 平行于 $AB$ 且与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M, N$ .
(I) 求椭圆 $C$ 的方程;
(II) 是否存在直线 l 使得 A, B, N; M 为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时：的方 程；若不存在，请说明理由.
18. （20） (本小题 15 分)
已知函数 $f(x) = \ln \frac{2 + x}{2 - x}$ .
（Ⅰ）求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
(II) 令 $g(x) = f(x) - a\sin x$ .
(i) 当 $a = 1$ 时, 讨论函数 $g(x)$ 在 $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 上的单调性;
(ii) 若 $g(x)$ 在 $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内存在唯一的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x) = \ln \frac{2 + x}{2 - x}$ .
（Ⅰ）求曲线 $y = f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程；
(II) 令 $g(x) = f(x) - a\sin x$ .
(i) 当 $a = 1$ 时, 讨论函数 $g(x)$ 在 $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 上的单调性;
(ii) 若 $g(x)$ 在 $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内存在唯一的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围.
19. （21） (本小题 15 分)
设递增数列 $\{a_{n}\}$ 中的每一项都是正整数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ . 对于正整数 $k$ ，若存在正整数 $j$ ，使得 $a_{k} \in (S_{j-1}, S_{j}]$ ，则称 $S_{j}$ 覆盖了 $a_{k}$ ，记 $a_{k}$ 的“覆盖阶数”为 $C(a_{k}) = j$ . 定义 $a_{k}$ 的“覆盖滞后度”为 $\lambda(a_{k}) = k - C(a_{k})$ . 规定 $S_{0} = 0$ .
（Ⅰ）若 $a_1 = 3, a_2 = 7, a_3 = 8, a_4 = 12$ ，求 $\lambda(a_1)$ 和 $\lambda(a_3)$ 的值；
(II) 若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列, 判断是否存在正整数 $k$ , 使得 $\lambda (a_{k}) = 10$ ? 若存在, 求出所有满足条件的 $k$ 的值; 若不存在, 请说明理由;
(III) 设 $\{a_{n}\}$ 前 k 项的 “覆盖滞后度” $\lambda(a_{1}), \lambda(a_{2}), \cdots, \lambda(a_{k})$ 的最大值为 M，求证：对任意的 $m \in \{0, 1, 2, \cdots, M\}$ ，存在 $i \in \{1, 2, \cdots, k\}$ ，使得 $m = \lambda(a_{i})$ .
(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)
设递增数列 $\{a_{n}\}$ 中的每一项都是正整数，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ . 对于正整数 $k$ ，若存在正整数 $j$ ，使得 $a_{k} \in (S_{j-1}, S_{j}]$ ，则称 $S_{j}$ 覆盖了 $a_{k}$ ，记 $a_{k}$ 的“覆盖阶数”为 $C(a_{k}) = j$ . 定义 $a_{k}$ 的“覆盖滞后度”为 $\lambda(a_{k}) = k - C(a_{k})$ . 规定 $S_{0} = 0$ .
（Ⅰ）若 $a_1 = 3, a_2 = 7, a_3 = 8, a_4 = 12$ ，求 $\lambda(a_1)$ 和 $\lambda(a_3)$ 的值；
(II) 若数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列, 判断是否存在正整数 $k$ , 使得 $\lambda (a_{k}) = 10$ ? 若存在, 求出所有满足条件的 $k$ 的值; 若不存在, 请说明理由;
(III) 设 $\{a_{n}\}$ 前 k 项的 “覆盖滞后度” $\lambda(a_{1}), \lambda(a_{2}), \cdots, \lambda(a_{k})$ 的最大值为 M，求证：对任意的 $m \in \{0, 1, 2, \cdots, M\}$ ，存在 $i \in \{1, 2, \cdots, k\}$ ，使得 $m = \lambda(a_{i})$ .
(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)