第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共 10 小题, 每小题 4 分, 共 40 分。在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目要求的一项。
② 若函数 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 都是减函数, 则 $L(x)$ 也是减函数. 则下列判断正确的是
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
① 若 $A=\frac{\pi}{3}$ ，则 $\sin B=$ ；
② 若 $\triangle ABC$ 为锐角三角形,则 $c$ 的取值范围是.
① 当 a=1 时, 对任意负实数 k, 方程 $f(x)=0$ 恰有一个实数解;
② 存在 a > 1 , 有负实数 k , 使得方程 $f(x) = 0$ 无实数解；
③ 存在 $a \in \mathbf{R}$ , 有正实数 $k$ , 使得方程 $f(x) = 0$ 恰有 2 个实数解;
④ 存在 $a \in \mathbf{R}$ , 有实数 $k$ , 使得方程 $f(x) = 2$ 恰有 3 个实数解.
其中所有正确结论的序号是。
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, 平面 $PAB \perp$ 平面 ABCD, $PA \perp AB$ , $AB \perp AD$ , $AB \parallel CD$ , $AB = AD = AP = 2CD = 2$ , M 是棱 PB 上一点, 满足 $PB = 3PM$ .
(Ⅰ) 求证: $PA \perp$ 平面 ABCD;
(Ⅱ)求平面ABCD与平面ACM夹角的余弦值.
已知函数 $f(x) = \sin 2\omega x\cos \varphi +\cos 2\omega x\sin \varphi$ ，其中 $\omega >0,|\varphi | < \frac{\pi}{2}.$
(Ⅰ) 若 $f(0) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , 求 $\varphi$ 值;
(Ⅱ)已知 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6},\frac{2\pi}{3}\right]$ 上单调递减, $f(\frac{2\pi}{3})=-1$ ,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数 $f(x)$ 存在且唯一确定,求 $\omega,\varphi$ 的值.
条件①: $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}\right]$ 上单调递增;
条件②: $f(-\frac{\pi}{3}) = -1$ ;
条件③: $f(\frac{\pi}{6})=0.$
注：如果选择的条件不符合要求,第(Ⅱ)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.
在某城市青年电影节公益短片展播环节中,预计展播 2 部反诈宣传短片与 1 部文明出行宣传短片,每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为 10 分钟,相邻短片播放无时间间隔.
(Ⅰ)求第1部播放的短片是文明出行宣传短片的概率;
(Ⅱ)记随机变量 X 为从展播开始,到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间 (单位:分钟),求 X 的分布列与数学期望 EX;
(Ⅲ)设随机变量 $Y$ 为从展播开始,到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记 $Y$ 的方差为 $DY$ , (Ⅱ)中 $X$ 的方差为 $DX$ . 比较方差 $DY$ 与 $DX$ 大小(结论不要求证明).
解答
答案(Ⅰ) $\frac{1}{3}$；(Ⅱ) $X$ 的分布列为 $P(X=20)=\frac{1}{3}$，$P(X=30)=\frac{2}{3}$，$E(X)=\frac{80}{3}$（分钟）；(Ⅲ) $DY>DX$（即 $DX<DY$）。
解析(1) 设2部反诈宣传短片为 $A,B$，文明出行宣传短片为 $C$。全部排列共有 $3!=6$ 种，$C$ 排在第1位有 $2!=2$ 种，故概率 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2) 每部短片时长10分钟，$X$ 是最后一部反诈短片播完的时刻。$C$ 的位置等可能为1,2,3。若 $C$ 在第1或第2位，则反诈短片占据另外两个位置中有一个在第3位，最后一个反诈也在第3位，故 $X=30$；若 $C$ 在第3位，则反诈短片在第1、2位，最后一部反诈在第2位，故 $X=20$。于是 $P(X=20)=P(C\text{在第3位})=\frac13$，$P(X=30)=\frac23$。因此 $E(X)=20\cdot\frac13+30\cdot\frac23=\frac{80}{3}$。
(3) $Y$ 为文明短片播完的时刻，即 $Y=10,20,30$ 等概率，故 $DY=\frac{(10-20)^2+(20-20)^2+(30-20)^2}{3}=\frac{200}{3}$。又 $D(X)=E(X^2)-(EX)^2=\left(20^2\cdot\frac13+30^2\cdot\frac23\right)-\left(\frac{80}{3}\right)^2=\frac{2200}{3}-\frac{6400}{9}=\frac{200}{9}$。所以 $DX=\frac{200}{9}<\frac{200}{3}=DY$，故 $DY>DX$。
已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}, A, B$ 分别是椭圆 $E$ 的上、下顶点， $|AB| = 2$ .
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程;
(Ⅱ)设 C 是椭圆 E 的左顶点, 过点 A 作斜率为 k 的直线 l, l 与椭圆 E 交于点 T (不同于点 A), 且与 x 轴交于点 D, 点 Q 在直线 BD 上, 且 $OQ \perp TB$ . 求证: $\triangle CQO$ 的面积为定值.
解答
答案椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$；$\triangle CQO$ 的面积为定值 $\frac{4}{5}$。
解析(Ⅰ) 由 $A,B$ 是上、下顶点，$|AB|=2b=2$，得 $b=1$。又离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt3}{2}$，且 $c^2=a^2-b^2=a^2-1$，所以 $\frac{a^2-1}{a^2}=\frac{3}{4}$，解得 $a^2=4$。故椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。
(Ⅱ) 由(Ⅰ)，$A(0,1),B(0,-1),C(-2,0)$。设直线 $l:y=kx+1$（$k\neq 0$），则 $l$ 与 $x$ 轴交于 $D(-\frac{1}{k},0)$。代入椭圆：$\frac{x^2}{4}+(kx+1)^2=1$，得 $(k^2+\frac14)x^2+2kx=0$，所以 $T$ 的横坐标 $x_T=-\frac{8k}{4k^2+1}$，纵坐标 $y_T=\frac{1-4k^2}{4k^2+1}$。于是 $TB$ 的斜率 $k_{TB}=\frac{y_T+1}{x_T}=-\frac{1}{4k}$，故 $OQ\perp TB$ 时 $OQ$ 的斜率为 $4k$，直线 $OQ:y=4kx$。又 $BD$ 过 $B(0,-1),D(-\frac1k,0)$，斜率为 $-k$，方程为 $y=-kx-1$。联立 $y=4kx$ 与 $y=-kx-1$，得 $x_Q=-\frac{1}{5k}$，$y_Q=-\frac45$。所以 $S_{\triangle CQO}=\frac12|\det(\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OQ})|=\frac12|(-2)y_Q|=\frac45$，与 $k$ 无关，故面积为定值。
已知函数 $f(x) = \ln x, g(x) = ax^2 - (a - 2)x - 2, a \in \mathbb{R}$ .
(Ⅰ)若曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 在点 $(1,0)$ 处有相同的切线, 求 a 的值;
(Ⅱ) 设 $h(x)=f(x)-g(x)$ ，且 $a\in(-1,0)$ .
① 求 $h(x)$ 的极值；
② 证明: 函数 $y = h(x)$ 有 3 个不同的零点.
(参考数据:0.69<ln2<0.70,1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61)
已知集合 $X=\{1,2,3,\cdots,16\}$ ，集合 A 是集合 X 的一个含 $k(k<16)$ 个元素的子集。若集合 A 满足如下两个性质，则称集合 A 为集合 X 的完美子集：
① 集合 $A$ 的任意两个不同子集的元素之和不相等;
② 对任意 $m \in X$ 且 $m \notin A$ , 令 $B = A \cup \{m\}$ , 且集合 $B$ 存在两个不同子集, 它们的元素之和相等;
(Ⅰ) 若 $A_{1}=\{1,3,5\}$ , $A_{2}=\{1,2,4,9\}$ ，判断 $A_{1}, A_{2}$ 是否为集合 X 的完美子集；
(Ⅱ)若集合 $A$ 为集合 $X$ 的完美子集,证明:集合 $A$ 的元素之和的最小值为 16;
(Ⅲ)若集合 A 为集合 X 的完美子集,证明: $k \leqslant 5$ .
(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)